以我有限的 nginx 经验，楼主的第二个配置
location ~ ^/api/(.*) {
proxy_pass http://172.0.0.3:31081/$1$is_args$args;
}
的目的，是把类似 http://host/api/your/path?key=value 转发到 http://172.0.0.3:31081/your/path?key=value

是把“/api”这层 path 换成“/”，应该是 172.0.0.3:31081 的 api （？）服务不需要加 “/api”前缀。

$1 就是 location 正则里面的 第一个 group ，$is_args 是表示是否有 searchPath ，值是"?"或空，$args 则表示 key=value&a=b 这整个 get 参数。

有个简化的版本可以参考（也是达到“转发时去掉 url 中的/api 的目的”）：
location /api {
proxy_pass http://172.0.0.3:31081/; #注意这里最后的/不能省
}